156 Selections Reprinted From

MR0199184 (33 #7333) 14.18 Hironaka, Heisuke Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II. Annals of Mathematics. Second Series 79 (1964), 109–203; ibid. (2) 79 (1964), 205–326. Outre la solution d’un problème célèbre, ce travail donne un des outils les plus puissants de la géométrie algébrique. Ce résultat est atteint avec une surprenante économie de moyens (notion de platitude, structure des anneaux locaux complets, fermeture du lieu singulier), compensée par une étonnante habileté. L’auteur utilise le langage des schémas, et c’est là un point essentiel, mais seulement les notions les plus simples et les plus naturelles: produit fibré, schéma projectif associé à une algèbre graduée. Quant aux résultats, énonçons le plus simple. Soit X un préschéma noethérien réduit, irréductible et “excellent” (p. 161) dont les anneaux locaux sont de caractéristique résiduelle nulle. Soit U = X − S, où S est le lieu singulier de X (ensemble des points où l’anneau local n’est pas régulier). Il existe un morphisme surjectif r : R → X tel que R soit régulier, r−1(S) étant un diviseur à croisements normaux et r induisant un isomorphisme r−1(U) ∼ → U . On pourra prendre pour X une variété algébrique sur un corps de caractéristique nulle car ses anneaux locaux sont “excellents”. Un anneau local complet l’est aussi; on sait donc résoudre les singularités des “variétés algébröıdes”. Il est d’ailleurs notable que le principe même de la démonstration suppose que l’on étudie simultanément les variétés algébriques et les variétés algébröıdes, ce que permet le langage des schémas. L’auteur obtient également la résolution “locale” des singularités d’un sous-espace analytique complexe de S × P , où S est une variété de Stein et P un espace projectif complexe. La démonstration se fait par une récurrence subtile qui exige que l’on prouve à chaque cran un résultat plus précis que celui annoncé plus haut; en particulier, on impose que le morphisme résolvant r : R → X soit obtenu en composant un nombre fini d’éclatements “permis”. Un éclatement permis est un morphisme X ′ → X obtenu en faisant éclater dans X un préschéma régulier D contenu dans le lieu singulier de X et tel que le cône normal de X le long de D soit plat sur D. Pour un tel D, la singularité de X est la même en tous les points de D, en un sens très fort (polynôme de Hilbert). Si X est une hypersurface d’un schéma régulier Y , on voit que D est permis si D est régulier et si X a même multiplicité en tous les points de D (Chapitre II). On prouve ensuite qu’un éclatement permis ne peut que rendre X “moins singulier”, le degré de singularité de X en un point x ∈ X étant mesuré par deux suites d’entiers définies en termes du cône tangent (Chapitre III). Le reste du Chapitre III est consacré au cas où X est le spectre d’un anneau local complet, donné comme quotient d’un anneau local complet régulier R. Il s’agit de trouver des paramètres de R et des équations de X ayant des propriétés très fortes, stables par éclatement permis. Ce résultat de démonstration délicate est fondamental. On